Почему Григорий Перельман – гений? Объясняем для тех, кто боится математики
Перельман стал известен в России после того, как отказался получить престижную премию для математиков. Рассказываем, чем именно ученый из Санкт-Петербурга смог поразить научное сообщество.
Проблемы тысячелетия
Математический институт Клэя 24 мая 2000 года объявил список Проблем тысячелетия. В него вошли семь математических ребусов, определенных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из них предложен приз в 1 000 000 долларов США.
Задачи из списка связаны с разными разделами математики – топологией, теорией групп, теорией алгоритмов. Формулировки проблем могут показаться удивительно краткими, но не стоит обольщаться: ученые десятилетиями бьются над их решениями, и в целом безрезультатно. Проблемы тысячелетия имеют потенциальное приложение к некоторым областям физики и информатики.
На 2018 год из семи проблем решена только одна, гипотеза Пуанкаре. Авторство открытия принадлежит Григорию Яковлевичу Перельману.
Бублики и рогалики
Топология – раздел математики, изучающий формы и пространства. Основная идея топологии состоит в том, что при изучения объекта важны его свойства, а не сам объект. Если несколько объектов имеют одинаковые свойства, их необходимо рассматривать вместе. Результат анализа будет применим ко всем представителям данного класса, необходимо будет только его «отмасштабировать». Такие объекты в топологии называются гомеоморфными друг другу.
Задача о Кениксбергских мостах
Первое обращение к топологии принадлежит перу Леонарда Эйлера, который доказал, что нет такого маршрута, который бы пересекал каждый из семи мостов Кениксберга лишь однажды. Работа Эйлера была важна не только по применению к данному конкретному городу – она будет работать в любой гомеоморфной ему конфигурации.
С точки зрения топологии «рогалик» и сфера являются одинаковым объектом, также как и овал и круг. Одну из фигур каждой пары можно трансформировать в другую, не меняя ее принципиальных свойств. А вот сфера и бублик уже не гомеоморфны – как бы мы не изменяли сферу с топологической точки зрения, невозможно сделать в ней дырку.
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Пуанкаре гласит, что всякое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.
Если на этом моменте у вас есть сильное желание закрыть статью, наберитесь немного терпения. Сейчас мы все разъясним.
Вместо трехмерных объектов для простоты изложения перейдем к двумерным. В топологии измерения понимаются не так, как в остальной математике: двумерная сфера есть поверхность шарика в обычном трехмерном пространстве. Аналогично, трехмерная сфера будет поверхностью четырехмерного шара, и так далее.
Таким образом, мы рассматриваем самую обычную трехмерную сферу; под многообразием будем понимать какую-либо фигуру, например, куб или тор.
Иллюстрация замкнутого многообразия
Многообразие называется замкнутым, если на его поверхности нет дырок, или, по сути дела, оно не имеет границ. Оно также будет называться просто связанным, если любую окружность на его поверхности можно стянуть в точку: представьте себе шарик, на который натянута резинка. Стягивая ее, мы всегда сможем прийти к состоянию, когда она станет фактически точкой.
Для двух измерений гипотеза Пуанкаре гласит, что «рогалик» или блин гомеоморфны сфере, и интуитивно этот результат вполне понятен. Однако, в трех измерениях доказательство данного утверждения уже далеко не так тривиально, и лучшие математические умы боролись над ним практически сто лет.
Работы Терстона и Гамильтона
Гипотеза Пуанкаре была сформулирована в начале XX века, но только в его второй половине были сделаны первые шаги на пути к ее доказательству. Оставив попытки разобраться «напрямую», математики стали изучать ту же самую ситуацию при другом количестве измерений. Для двух, как мы уже показали выше, все довольно просто. А как насчет более чем трех измерений?
В 1960 году американский математик Джон Сталлингс опубликовал доказательство гипотезы для измерений выше семи. Позднее Стивен Смейл смог доказать гипотезу для более чем пяти измерений. Математики так или иначе представляли различные работы о гипотезе Пуанкаре, но ни одному так и не удалось приблизиться к заветному числу координат.
До 1980-х годов процесс фактически остановился, но в 1982 Майкл Фридман выиграл медаль Филдса за доказательство гипотезы в четырех измерениях, а другой тополог, Уильям Терстон в том же году сформулирован гипотезу о геометризации. И доказательство новой теоремы одновременно доказывало и гипотезу Пуанкаре.
Работа Терстона привлекла внимание другого тополога, Ричарда Гамильтона. Его подход основывался на понятии кривизны, которая положительна и постоянна для сферы. Если научиться измерять кривизну произвольного объекта и продолжать наблюдать ее изменения при трансформации фигуры, можно прийти к случаю постоянной и положительной кривизны. То есть, фактически получить сферу – и гипотеза будет доказана.
Поток Риччи
Процесс видоизменения объектов был назван потоком Риччи. Гамильтон смог доказать, что кривизна остается положительной, но столкнулся с проблемой: у него не получалось показать, что она постоянна во времени. Более того, трансформация некоторых фигур приводила к сингулярностям, то есть их кривизна оказывалась бесконечной.
Гамильтон предложил «вручную» исправлять подобные специфические случаи при помощи специальных функций, и этот процесс был назван потоком Риччи с «хирургией». Он не смог доказать, что вне зависимости от типа бесконечностей гипотеза по прежнему оказывается верной, но именно эту идею позднее использовал Перельман – и не безрезультатно.
Математический гений
Григорий Перельман посвятил гипотезе Пуанкаре семь лет: с 1995 по 2002 год. За это время он смог преодолеть все проблемы, с которыми столкнулся Гамильтон.
Во-первых, ему удалось показать, что кривизна в целом всегда ограничена, и это предположение было верным. Во-вторых, Перельман определил ряд конкретных случаев, когда кривизна становится бесконечной и нашел математический способ обращения с ними. Он также пришел к заключению, что некоторые из случаев сингулярности, который рассматривал Гамильтон, вовсе таковыми и не являются.
В 2002 году Перельман опубликовал в интернете три работы, которые содержали доказательство гипотезы Пуанкаре.
Перельман не спроста опубликовал свои работы в открытом доступе и не отправил в какой-либо научный журнал. Он был абсолютно уверен в корректности своего исследования и не хотел, чтобы его труды кто-то проверял и оценивал.
Подробные разъяснения также отсутствовали в его работах наряду с целыми фрагментами доказательства, просто потому что Перельман считал, что все и так совершенно ясно. За проверку результатов взялись одновременно несколько групп математиков по всему миру, и разобраться они смогли лишь к 2006 году. Правильность статей Перельмана была подтверждена.
Основную известность Григорий Перельман получил именно за то, что отказался от двух престижных премий – медали Филдса и приза института Клэя за решение одной из Проблем тысячелетия. Он отвечал на бесконечные вопросы в своей манере: «Деньги и слава меня не интересуют. Я не хочу, чтобы меня выставляли на всеобщее обозрение, как животное в зоопарке. Я не герой математики. Я также не являюсь таким уж успешным, поэтому я не хочу, чтобы на меня все глазели».
Комментарии